基础数学示例

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{a^{2} - 4 a - 5}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $a^{2} - 4 a - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $- 4$ 。

$- 5, 1$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{(a - 5) (a + 1)}$

解题步骤 2

约去 $a - 5$ 的公因数。

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解题步骤 2.1

约去公因数。

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{a - 5}{(a - 5) (a + 1)}$

解题步骤 2.2

重写表达式。

$\frac{1}{a^{2} - 25} - \frac{1}{a + 1}$

解题步骤 3

要将 $\frac{1}{a^{2} - 25}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a + 1}{a + 1}$ 。

$\frac{1}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{1}{a + 1}$

解题步骤 4

要将 $- \frac{1}{a + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$ 。

$\frac{1}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$

解题步骤 5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(a^{2} - 25) (a + 1)$ 的形式。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{a^{2} - 25}$ 乘以 $\frac{a + 1}{a + 1}$ 。

$\frac{a + 1}{(a^{2} - 25) (a + 1)} - \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{a + 1}$ 乘以 $\frac{a^{2} - 25}{a^{2} - 25}$ 。

$\frac{a + 1}{(a^{2} - 25) (a + 1)} - \frac{a^{2} - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 5.3

重新排序 $(a^{2} - 25) (a + 1)$ 的因式。

$\frac{a + 1}{(a + 1) (a^{2} - 25)} - \frac{a^{2} - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{a + 1 - (a^{2} - 25)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 7

以因式分解的形式重写 $\frac{a + 1 - (a^{2} - 25)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$ 。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{a + 1 - a^{2} - - 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 7.2

将 $- 1$ 乘以 $- 25$ 。

$\frac{a + 1 - a^{2} + 25}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 7.3

将 $1$ 和 $25$ 相加。

$\frac{a - a^{2} + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$\frac{- a^{2} + a + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 7.5

从 $- a^{2} + a + 26$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $- a^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (a^{2}) + a + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 7.5.2

从 $a$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) + 26}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 7.5.3

将 $26$ 重写为 $- 1 (- 26)$ 。

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) - 1 (- 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 7.5.4

从 $- (a^{2}) - 1 (- a)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (a^{2} - a) - 1 (- 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 7.5.5

从 $- (a^{2} - a) - 1 (- 26)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a^{2} - 25)}$

解题步骤 7.6

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a^{2} - 5^{2})}$

解题步骤 7.7

因数。

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解题步骤 7.7.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) ((a + 5) (a - 5))}$

解题步骤 7.7.2

去掉多余的括号。

$\frac{- (a^{2} - a - 26)}{(a + 1) (a + 5) (a - 5)}$

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